这一篇博客会比较长,目前还没写完,处于不断更新中…

这一节会用一些通俗的语言去解释一些数学上的概念,有一些解释可能并不是严谨,我们更多地是把焦点放在理解这些概念是什么,为后面的应用做铺垫。如果有一些点不能理解,也没关系,只要知道有这样一个东西就行,等真正用到的时候,有点印象,这样就会有解决问题的方向,再回来查相关的知识就可以。单纯记住一些知识是没有太多意义的,只有会应用了,才有意义。

集合 (Sets)

一堆东西,就是一个集合。例如桌子上有一堆苹果,就可以说,这是一个苹果的集合。旁边放了一堆干果,就可以说,那是一个干果的集合。这里有100个数字,都是整数,那这就是一个整数集合。

下面是一些常用的集合

  • 实数集合
    实数包含有理数 和无理数,有理数包括整数和分数,无理数就是无限不循环小数

  • ℝ+ 非负实数集合
    理解了实数集,这个非负实数集合就好理解了,就是把把负数去掉

  • ℝ2 有序对,像二维的坐标,就属于一个有限对,(x,y)

  • ℝn 在n维笛卡尔空间中的点

  • 整数集合

  • S2 在单位球面上的3D点

上面的这些常用的集合,大概了解一下就好了,不用详细的去探究,只要大概知道是什么,有这个名词的印象就OK,等用到的时候自然就了解了。

映射 (Mappings)

映射和编程上的函数很类似,输入参数,输出结果,或者说,给函数一个A,函数进行运算后,会返回给你一个B。而映射,类似,就是将一个东西从A变成B。

f:ℝ↦ℤ 这个东东,可以这样解释,有一个函数叫做f,这个函数呢,接收一个输入,这个输入是,也就是上面说到的实数类型的数,注意,这里是输入一个实数,而不是输入实数集合,这里的可以理解成编程函数中的数据类型。然后呢输出一个整数类型的数。基本上可以当作编程语言中的函数调用。

映射,是将一个集合中的元素,映射成另一个集合中的元素。可以说,你从A集合中找一个元素,扔进映射函数里,那么映射函数会从B集合中找一个元素,再扔给你。

逆映射 (Inverse Mappings)

通俗来讲,逆映射就是映射反过来,你从B集后找一个元素扔进映射函数,映射函数会从A集合中根据映射规则找一个元素还给你。映射中,有一个名词,叫做 双射,就是说,对于A集合中的任何一个元素,都能在B集后中找到唯一一个与它一一对应的元素,并且,对于B集后中的任何一个元素,也都在能A集合找到唯一一个与它一一对应的元素。这种情况,就叫做双射。

区间 (Intervals)

区间可以理解为一个数值范围,这个范围内的元素放在一起,也就是我们前面学到的集合。例如一周有7天,数值范围就是从星期一到星期日,某幼儿园小朋友的身高范围是80cm到140cm之间的,这些都是区间。我们从整数集合上定义一个区间,例如[1, 15],意思就是从1到15这15个数。用中括号[] 表示的区间叫做闭区间,用小括号()表示的区间叫做开区间,还可以混合使用,例如 (] 或者 [),这种分别叫做半开区间和半闭区间。那它们有什么区别呢?中括号,表示区间范围包含起始或结束数值,小括号表示区间范围不包含起始或结束数值。

  • [1, 10] 表示区间范围是从 1到10
  • (1, 10) 表示区间范围是从 2到9
  • (1, 10] 表示区间范围是从 2到10
  • [1, 10) 表示区间范围是从 1到9

并集: 给定两个集合A,B,把他们所有的元素合并在一起组成的集合,叫做集合A与集合B的 并集,记作A∪B,读作A并B。

交集: 给定两个集合A,B,把所有即属于A,又属于B的元素拿出来,组成一个新的集合,这个集合,就叫做A与B的 交集,记作A∩B。

区间可以做减法操作,A-B,表示的是,从区间A中,去掉属于属于区间B中的元素。

对数 (Logarithms)

我们先来看一个简单的计算 $3^{4} = 3 * 3 * 3 * 3 = 81$ 这个是不是很简单?3的4次方就是4个3连续相乘,最后结果是81。这叫做幂运算。

而对数呢,其实就是幂运算反过来,上面我们3的4次方,等于多少。而现在,我们要计算3的几次方等于81呢?用公式来表示,就是这样子的 $y = \log_381$ ,所以这里的 y 就是结果,也就是4。只要记住一句话,就很好地理解对数了,就是计算一个数的几次方等于另一个数。

二次方程 (Quadratic Equations)

二次方程就是我们熟悉的 $ax^{2} + bx + c = 0 $ 这种类型的。我们从几何的角度来考虑这个方程,$ y = ax^{2} + bx + c $,这个方程是一个抛物线,而方程的解,就是这条抛物线与x轴的交点。有可能是0次,1次,或2次,也就是说,最终的解可能有0个,1个或两个。就像下面的图像。

p000301_quadratic-equations

角 (Angles)

一个角,是由两条射线从同一个原点,但是射向不同方向而构成的。这里,我们将角放到单位圆上来说。使用两个射线,从圆的原点出发,切割单位圆,看下面的图。

p000302_unit-circle

这里,我们使用的单位是弧度。弧度是基于圆的半径的纯计量单位,也就是 “半径环绕圆周” 的概念。一个整圆的弧度是 ,也就是360度。上图中我们用两条射线去切割圆,会产生两个区域,一个大的,一个小的。通常约定是使用的弧形,来表示角。

关于弧度和角度的换算。因为单位圆是 弧度,360 *度。所以 *π 弧度就等于 180 度。所以 1弧度=180度/π

将弧度转为角度:乘以 180,除以 π

将角度转为弧度:乘以 π,除以 180

三角函数 (Trigonometric Functions)

三角函数最基本的就是我们初中学过的,正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan),而这些三角函数,都是基于 直角三角形 而建立的。

看下面一个直角三角形的图,我们先把三条边的的名字标注上

p000303_adjacent-opposite-hypotenuse

图片来自数学乐

对于直角三角形中某一个角θ来说,

  1. 对边,就是对面的边,
  2. 邻边,就是旁边的边,
  3. 斜边,就是整个三角形最长的边。

而上面提到的三个基本的三角函数,就和这三条边有关。

正弦 $sin(θ) = \frac{对边}{斜边}$

余弦 $cos(θ) = \frac{邻边}{斜边}$

正切 $tan(θ) = \frac{对边}{邻边}$

其实就是用一条边的长度除以另一边的长度。
关于三角函数就暂时介绍这么多,其实里面还有很多内容,这个我想等在图形学中用到时,再详聊这方面的内容。

向量 (Vector)

向量在图形学和游戏开发中有大量的应用 ,那么什么是向量呢?其实就是一个方向,或者说一个偏移!例如,用手指指向天空中某颗流星,这就是一个方向。有一个人问你,超市在什么地方,你说,从这里出发,向左走50米,然后向前走30米,这里就有了两个向量,一个指向左边,一个指向前面。

向量是有大小的,上面说的向左走50米,这里的50就是可以理解为大小。

两个向量,只要方向相同,大小相同,那就是一样的,和向量的起点无关。

向量,与坐标系是息息相关的。现要只要记住,向量是偏移,是方向,就可以,不管怎样的数据结构去标识,不要把值理解成一个点就可以。

向量的操作 (Vector Operation)

向量可以相加相减相乘。这里我们暂时只讨论加和减。

两个方向相加,会得到什么呢?假设你站在A点,然后向左走了50米,到达B点,然后从B点又向前走了30米,到达C点。这里有两个向量一个是从A点到B点的向量,我们表示成,$\vec {AB}$。第二个向量是从B点到C点,我们表示成 $\vec {BC}$。那两个向量相加的结果呢,就是一个从A点指向C点的向量,我们表示成 $\vec {AC}$。

向量相加,不管中间加了多少向量,最后的结果,都是从最初的起点指向最后的终点的一个向量。看下面的图

p000304_vector-operation

两个向量相减,会得到一个从被减向量的头,指向减向量的头。例如有两个点,A和B,A-B,就会得到一个从B点指向A点的向量。这个是很有用的,例如在游戏中你要计算炮弹射向敌人的方向,只需要用敌人的位置,减去炮口的位置,然后将结构标准化,就会得到炮弹的发射方向。

负向量就是一个向量大小相同,方向相反的一个向量,例如你现在朝东,那负向量就是朝西。

向量可以表示成行向量,或者列向量。

这是一个列向量 $a = \begin{bmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{bmatrix}$

这是一个行向量 $a = \begin{bmatrix} x_{a} & y_{a} \end{bmatrix}$

向量的大小(模)

向量的大小,也叫做向量的模,怎么计算呢?例如一个向量是这样的 $a = \begin{bmatrix} x_{a} & y_{a} \end{bmatrix}$,向量的模,是一个标量,通俗点来讲就是一个数。向量的模用双竖线表示,直接看下面的计算公式

$\lVert x \rVert = \sqrt{x_{a}^2 + y_{a}^2} $

就是向量中的每一个元素平方和,然后开平方

向量的点积

向量的点积,是两个向量之间的关系,与两个向量的大小,以及它们之间的夹角有关。看下面有两 a, b 两个向量的一个图

p000305_vector-dot

向量的点积公式就是图中的,点积的是由两个向量的模以及两个向量之间夹角的 cos 值相乘得到的。

如果两个向量都是单位向量,那它们模就是1,最后会得到向量的点积,就是夹角的cos值。

上面是向量点积的几何定义,还有一个代数定义的公式,用来计算点积的值。

$a \cdot b = \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

就是两个向量对应元素乘积的累加和。这个公式算出来的结构,和上面那个几何公式的结果是一样的。

现在基本上游戏引擎中都有直接计算点积的API,或者数学库,不用自己手写公式。

点积有什么用呢?主要有两方面的应用,一是可以大概判断两个向量的方向,是相同,垂直,还是相反。二是可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。这里只要大概有个印象就行,后面等用到了再细说。

向量的叉积

这里引用维基百科上对于向量叉积的解释,我觉得这个解释很清晰,很易懂。

叉积(英语:Cross product)又称向量积(英语:Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号$\times$。与点积不同,它的运算结果是向量。

就是说向量的叉积是由两个向量进行叉乘运算得到的,结果也是一个向量,而这个向量呢,是垂直于那两个向量的。有一条很重要的规则是,如果两个向量方向相同或相反,亦或任意一个的长度为零,那么它们的叉积为零。看下面的图

p000306_Cross_product
上图中叉积a × b(垂直方向、紫色)随着向量 a(蓝色)和 b(红色)的夹角变化。 叉积垂直于两个向量,模长在两者平行时为零、在两者垂直时达到最大值‖a‖‖b‖。

如果两个向量a,b分别是指向x轴和z轴方向,则叉积向量会有两个方向,要么指向上方,要么指向下方,那这个是由什么决定的呢?

将右手食指指向 a 的方向、中指指向 b 的方向,则此时拇指的方向是向上的。将右手食指指向 b 、中指指向 a ,那么拇指就必定指向相反方向,即翻转了叉积的符号。

叉积可以用于计算法向量。

计算公式:
$(x_1, y_1, z_1) \times (x_2, y_2, z_2) = (y_{1}z_{2} - z_{1}y_{2},z_{1}x_{2} - x_{1}z_{2},x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2})$